SYSTÈMES DE COMPTAGE AFRICAINS ET PRÉARITHMETIQUE : DE L’OPÉRATION À LA CATÉGORISATION PAR LE PROF, ABDOULAYE ELIMANE KANE
SYSTÈMES DE COMPTAGE AFRICAINS ET PRÉARITHMETIQUE : DE L’OPÉRATION À LA CATÉGORISATION
PAR LE PROF, ABDOULAYE ELIMANE KANE, ANCIEN PROF DE PHILOSOPHIE À L’UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP, DAKAR
Les rapports entre numération, calcul et arithmétique montrent que si la nomenclature des numéraux cardinaux constitue l’ossature essentielle et objective des opérations de comptage ou de calcul, le passage à l’arithmétique suppose d’autres conditions et d’autres règles.
La réflexion sur les systèmes de numération parlée de certaines langues africaines et sur les spéculations numériques à caractères ésotérique, confirme cette observation.
L’objet de la présente étude est de montrer que les systèmes de comptage qui y sont pris en exemples sont à mi-chemin entre numération et arithmétique et qu’une sorte de préarithmétique est à l’œuvre dans les procédés dont ils se servent.
En effet si l’arithmétique est bien cette partie des mathématiques qui étudie les propriétés élémentaires des nombres rationnels, il est évident que les conditions strictes de sa constitution ne sont jamais remplies par simple énoncé de la suite des entiers naturels.
Parmi les conditions d’émergence de l’arithmétique figure la possibilité d’étudier librement les propriétés numériques pour elles mêmes, indépendamment des objets auxquels peuvent s’appliquer les nombres. Les étudier dans un tel esprit c’est avoir le loisir de combiner et d’instituer des procédés et techniques révélateurs des propriétés connues ou nouvelles.
La conscience des propriétés élémentaires des nombres commence lorsque le sujet qui les étudie ou s’en sert cesse de considérer les entiers naturels comme des entités données et figées, constituées de telles sorte que pour passer de l’une à l’autre il suffise d’ajouter une unité à la précédente.
Je voudrais m’appuyer sur trois exemples pour suggérer que, dans les techniques utilisées à partir ou au sein de certaines numérations des langues africaines, une préarithmétique est à l’œuvre. C’est-à-dire une conscience des propriétés des nombres, perceptible dans une certaine intention de les manipuler comme telles.
L’essentiel de cette analyse consistera par conséquent à suivre à la trace les possibles manifestations de cette conscience à travers trois types de techniques de comptage ayant en commun la même problématique : la mise en ordre et le calcul.
I. LES OPÉRATIONS : TECHNIQUES DE CALCUL
A. Au sein même de la numération
En général la numération n’est qu’énonciation de la suite des entiers naturels surtout pour ce qui est des nombres inférieurs à la base et la base elle-même. Toutefois, dans certains systèmes de numération, des techniques apparaissent qui dénotent une conscience certaine des rapports d’un nombre à. la base et des opérations susceptibles d’en être tirées. La numération yoruba constitue un modèle du genre. En effet, la construction des nombres de 11 à 19 et celle des puissances de la base 20 en sont une illustration éclatante.
a) Les nombres intermédiaires du système de numération Yoruba
L’examen de la structure de ces noms de nombres montre que la numération yoruba se sert simultanément ou successivement d’opérations différentes de calcul pour leur expression : addition et/ou soustraction. Lorsqu’il s’agit d’addition, les nombres intermédiaires sont engendrés à partir de 10 par exemple, premier palier de cette numération. Et lorsque l’opération privilégiée est la soustraction, le nombre de référence est vingt, base de la numération yoruba.
Exemples : Expression des dix premiers nombres de la numération yoruba et du nombre 20 :
1 = OO’ KAN ; 2 = eeji, 3 = ee’la ; 4 = ee’ rin ; 5 = aarun ; 6 = ee’fa ; 7 = eeje ; 8 = eejo ; 9 = ee’wa ; 20 = OGUN.
De 11 à 15 les nombres sont construits par addition des unités nécessaires engendrées à partir du nombre dix
eeji laa = 12 ; eeta laa = 13 ; eerir laa, aarun laa = 15.
Ce qui signifie, respectivement, que deux, trois, quatre, cinq "sont ajoutés" sous-entendu, "à dix".
À partir de 16, les nombres sont construits par soustraction des unités nécessaires à partir du nombre 20.
16 = eerin din logun = "est inférieur à vingt de quatre (unités)"
17 = eeta din logun "est inférieur à vingt de trois (unités)"
18 = eeji din logun = "est inférieur à. vingt de deux (unités)"
Ainsi, sur ce premier cas il est vérifiable que la numération yoruba se sert successivement de lexèmes distincts pour nommer les dix premiers nombres ainsi que sa base qui est vigésimale, mais que pour exprimer les nombres compris entre 11 à 19 le double procédé qui est à l’œuvre dénote à la fois une technique opératoire et une conscience de la valeur de la base.
On remarquera dans cette technique l’étrangeté opérante du procédé d’anticipation qui consiste à faire opérer le nombre vingt alors que l’énumération n’a pas encore atteint le numéro d’ordre correspondant à la position de 20 dans la suite des entiers naturels.
Il est peu vraisemblable qu’une numération qui a su nommer de grands nombres ait été réduite à user d’un tel procédé par impuissance à désigner par des lexèmes distincts, les nombres intermédiaires.
Par contre, il n’est pas hasardeux de penser que le procédé d’anticipation par soustraction est l’indice d’une genèse des nombres où la représentation des paliers successifs correspondant aux puissances de la base aurait constitué un acquis antérieur à la donation de noms aux nombres intermédiaires. En d’autres termes, non seulement la constitution de la suite des entiers ne se serait pas faite de manière absolument linéaire, mais, de plus, les nombres paliers ont déjà en eux-mêmes une valeur opératoire. D’où le fait que OGUN = 20 ne soit pas essentiellement le nombre qui suit 19, mais bien plutôt celui avec lequel on peut effectuer différentes opérations.
L’analyse de l’expression des nombres à des paliers supérieurs, le confirme.
b) Mise en ordre et opérations dans l’expression des grands nombres yoruba
Examinons les exemples ci-après :
40 = ogogi = 20 x 2
50 = aadota = (20 x 3) - 10
70 = aadorin = (20 x 4) - 10
120 = agofa = 20 x 6
300 = oodunrun = 20 (20- 5)
Ces expressions ont recours aux principales règles du calcul à l’exception de la division (mais on sait que celle-ci est une forme renversée de la multiplication). Il est évident qu’un tel procédé montre que la numération yoruba ne se satisfait pas de la seule énumération des entiers naturels et qu’à la limite, la donation de nom est fonction presque exclusivement des possibilités opératoires liées à un nombre à un des ses multiples, au palier qui le précède ou le suit, à. la base, ou aux puissances successives de la base.
Ces constatations suffisent pour soutenir que si les conditions d’une arithmétique telle qu’elle a été définie plus haut ne sont pas encore remplies, il serait fautif d’en inférer que la conscience réflexive est absente des procédés rencontrés dans ces énoncés.
Ce pas important sur la voie qui conduit de la préarithmétique à l’arithmétique (en y associant d’autres conditions comme la maîtrise d’un système graphique) est susceptible d’être confirmé par la richesse des procédés de comptage de la culture MANDE.
B. Les opérations dans les systèmes Bamana et Maninkeme
Dans leur état actuel, toutes les numérations du groupe mandé ont une base 10. Mais on sait par ailleurs que cette décimalisation est le résultat d’un long processus dont on a gardé le souvenir et les traces dans deux systèmes des plus originaux : le Bamanakemé (avec 80 comme base principale) et le Maninkemé (avec 60 comme base principale).
On ne peut s’empêcher de s’interroger sur les raisons qui ont conduit les populations mandé à adopter de telles bases. La première réponse est qu’il n’est pas étonnant qu’un peuple commerçant puisse avoir une conception pragmatique de son système de comptage. Et c’est le côté opératoire qui domine à tous les niveaux dans l’élaboration et la construction des nombres bamnna et maninké.
Le nombre 60 par exemple a souvent été vanté pour sa grande commodité de maniement du fait du grand nombre de diviseurs dont il dispose. Et si le nombre 80 en compte moins, il demeure malgré tout suffisamment intéressant sur le plan opératoire comme le prouvent quelques exemples de comput empruntés à la pratique de transaction dans les marchés des grands centres où se parlent les langues mandé.
Delafosse faisait remarquer après bien d’autres, que 1000 cauris à Bobo Dioulasso en valaient 800 à Ségou et 600 en Gambie dans un passé plus ou moins lointain.
On voit immédiatement tout le parti qu’une réflexion sur la relativité de la notion de base peut tirer de telles considérations. Ce sont les conditions de l’échange qui déterminent la valeur du "grand tas" (kémé) comparé à d’autres "grands tas" (80 contre 60 ou contre 100).
Les usagers de ces computs en étaient si conscients qu’ils s’ingéniaient à faire des combinaisons de grands et de petits tas, pour assurer leur gain dans les transactions.
Exemples :
Kemé étant 80, faire 4 tas de 20, ou 16 tas de 5
ou bien encore kémé étant 60, faire 6 tas de 10
ou 3 tas de 20 à échanger contre ceux de l’autre base.
Il est évident que si la valeur quantitative de chaque "grand tas" (Kémé) est constante, les séries qui les constituent n’étant pas les mêmes, il y a matière à spéculation.
L’un des résultats les plus importants que l’on peut noter à partir de telles pratiques est que celles-ci dénotent une conscience réelle de la relativité la notion de base et, surtout, son caractère opératoire.
II. LES SPÉCULATIONS SUR LES SYSTÈMES NUMERIQUES SYMBOLIQUES : Les techniques de mutation des nombres
Deux observations préliminaires sont à faire pour la compréhension du rapport que ces spéculations entretiennent avec notre propos.
D’abord, le fait qu’elles soient les composantes de cosmogonies et par conséquent des éléments et des instruments de ce type de discours, doit nous rappeler que la réflexion sur le monde à l’aide de nombres et la réflexion sur les nombres dans leurs rapports à eux-mêmes ne constituent pas une même démarche et n’ont pas même valeur au regard de la science.
L’une a davantage sa place dans une sorte d’ethnomathématique, l’autre dans l’arithmétique telle qu’elle est définie plus haut.
La seconde observation est un prolongement de la précédente : l’étude de la préhistoire et de l’histoire des mathématiques fournit de nombreux exemples qui prouvent que des mécanismes et procédures propres au calcul et au raisonnement peuvent bel et bien être enveloppés dans un discours non scientifique, comme en attestent par exemples des passages significatifs du Timée de Platon.
Aussi, lorsque ces mécanismes et procédures existent, il n’est pas sans intérêt de les considérer pour eux-mêmes.
L’École de Griaule a fait connaître la cosmogonie bambara et dogon sous un de ses aspects les plus riches d’enseignement, précisément les spéculations sur les nombres et le recours à un système graphique complexe utilisé pour expliquer l’ordre de l’univers.
Deux procédés dominent les techniques de "mutation" des nombres auxquelles se livrent les tenants de ces savoirs : la décomposition et la "réduction", ou encore analyse et synthèse.
1. Le procédé de mutation par décomposition
Ce procédé consiste à expliquer la porté symbolique d’un chiffre en exhibant ses différentes parties numériques.
Commentons un des passages représentatifs du mythe dogon : "Amma (le Dieu) était un en quatre personnes".
La personne est désignée dans le mythe dogon par le chiffre 7 considéré comme la somme du chiffre masculin (trois) et du chiffre féminin (quatre).
D’où la traduction de cet aphorisme par
28 = 1 ou encore 7 + 7 + 7 + 7 = 4 x 7 = 1
avec l’idée de perfection qui caractérise Amma, les dogons l’ont représenté par ailleurs graphiquement par le cercle, symbole de l’unité et de la perfection ("Amma était rond").
Ce qui donne à voir que non seulement il est possible de retrouver 4 fois 1 chiffre-clé "sept" mais que le nombre 28 a dû être choisi en raison des propriétés opératoires qu’il recèle et dont la plus notable se trouve dans ses rapports avec ses propres diviseurs, lorsque lui même en est exclu (puisqu’il est ici... l’unité).
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Il arrive aussi que dans ce procédé de décomposition le mythe préfère mettre l’accent sur une autre combinaison : quatre personnes valent deux paires de jumeaux (6 + 6) et deux paires de jumelles (8 + 8)
6 + 6 + 8 + 8 =28
Des décompositions de cette nature, les récits mythiques dogon et bambara en fourmillent.
2. Le procédé d’addition ou "réduction"
Prenons les exemples ci-après de réduction à l’unité par la voie de 10 qui est l’une des nombreuses par lesquelles les prêtres y parviennent.
Réduction de 28 à l’unité par la "voie" du nombre 10.
Les prêtres disent "mugan. ni ségin" (littéralement. 20 et 8) ou "segin ni fla" ("huit et deux") pour dire vingt-huit en langage ésotérique.
Ces deux expressions ne peuvent être considérées comme interchangeables que dans un contexte ésotérique et parce qu’il est possible de recourir à un système graphique au sein duquel :
a) l’unité peut être représentée par un cercle ou par un trait vertical.
b) le nombre 10 par dix traits ou par un trait unique ou encore par un cercle.
c) le nombre 2 par deux traits et le nombre 20 par deux traits surmontés d’une petite courbe (cf. : Solange de Ganay, "Graphie bambara des nombres" Journal de la Société des Africanistes, tome XX, fasc. 2, p. 295 et suivantes).
D’où la "réduction"de 28 à l’unité par la "voie" de 10 :
28 = segin ni fla.
Segin ni fla = 8 + II
c’est-à-dire 8 + 20.
Autre variante : 8 + 2 = 10 ; 10 = 1, le signe II n’étant plus 20 mais 2. Les études ethnographiques relatives aux mythes dogon et bambara fourmillent également de tels exemples.
Il convient seulement de rappeler à partir de ces exemples rapidement présentés, ce qui nous a paru essentiel dans la démarche des prêtres. C’est dans le caractère arbitraire de ces procédés de mutation qu’il semble intéressant d’observer un "esprit", une attitude qui dénote un certain goût pour les spéculations certes, mais aussi un intérêt pour les propriétés des nombres et leurs rapports. La mise en ordre et le calcul qui s’y effectuent par leur aspect rudimentaire ne sont peut être pas encore de fait de l’arithmétique telle qu’elle a été définie plus haut et la catégorisation explicite des propriétés des nombres y fait défaut. Mais il serait excessif de soutenir que dans ces exemples comme dans ceux analysés à propos de la numération yoruba et des systèmes de comptage bambara et maninkémé, la conscience des rapports numériques est absente. Au contraire, on peut penser que cette conception pragmatique de l’usage des nombres est une préarithmétique à laquelle manquerait la maîtrise d’un système d’écriture pour évoluer vers l’arithmétique.
