RATIONALITÉ DES MATHÉMATIQUES DANS LES LANGUES AFRICAINES, PAR LE PR ABDOULAYE ELIMANE KANE, PHILOSOPHE

RATIONALITÉ DES MATHÉMATIQUES DANS LES LANGUES AFRICAINES
PAR LE PR ABDOULAYE ELIMANE KANE, PHILOSOPHE.

Lors d’un colloque sur la Négritude, le Professeur Souleymane Niang, mathématicien et ancien Recteur de l’Université Cheikh Anta Diop de Dakar, avait fait une communication sur le thème : « Négritude et Mathématiques ». En réponse à cet article, le Profeseur Nouréni Tidjani-Serpos entreprit de discuter les thèses et les arguments du Professeur Niang dans un exposé intitulé : « À propos de Négritude et Mathématiques ». Ces deux initiatives étaient louables lorsque l’on sait qu’en général sur la culture africaine les études les plus communément menées portent sur les arts, les systèmes de valeurs, l’organisation sociale et politique et la cosmogonie. Le mérite du Professeur Niang a été de confronter une théorie sur les valeurs « spécifiques » du monde noir avec des principes universellement connus se rapportant aux méthodes et pratiques d’une discipline éminente que l’on ne fait pas figurer en général parmi les savoirs africains authentifiés. En examinant et critiquant la démarche empruntée par le mathématicien sénégalais, le Professeur Tidjani-Serpos s’est inscrit dans la logique de ce qui caractérise l’esprit scientifique : examiner de manière rigoureuse l’agencement des propositions d’une démonstration pour en accepter les thèses et les conclusions ou pour les réfuter. Il faut leur savoir gré d’avoir placé cette investigation sur le plan de la théorie alors que les enquêtes relativement importantes sur les savoirs africains portent plus souvent sur la description ou la constitution de corpus de techniques et de connaissances dans des domaines souvent assimilés à la « sagesse » africaine. Tous les deux nous laissent cependant sur notre faim. Sans doute à cause du contexte dans lequel le premier a livré sa réflexion : ce n’était pas un séminaire technique sur les mathématiques et leur histoire, mais plutôt une contribution à l’illustration de la pertinence de la théorie de la Négritude.

Si l’on peut considérer l’approche du Professeur Niang qui a consisté à replacer la problématique dans la dialectique célèbre entre esprit de géométrie et esprit de finesse ne nous informe pas du tout sur un état ou un statut de mathématiques élaborées, conçues et appliquées par des Noirs de l’Afrique ou des diasporas, la critique du Professeur Tidjani-Serpos ne nous fait pas davantage avancer dans ce domaine. Le syllogisme du premier est en effet un peut court et se résume ainsi : l’intuition est une méthode propre au raisonnement mathématique au même titre que la déduction surtout pour la géométrie ; or l’intuition est considérée par la Négritude comme la faculté majeure des Nègres ; donc les Nègres sont disposés à faire des mathématiques et peuvent en faire davantage dans des conditions précises d’encadrement pédagogique.

Tidjani-Serpos a raison de reprocher à cette analyse son caractère trop général, de ne l’inscrire dans aucune période historique, de reprendre à son compte, sans le démontrer le partage effectué, par Senghor entre Raison hellène et émotion nègre et en définitive de n’avoir pas fait preuve de pertinence scientifique. Mais l’on ne trouve pas dans cette réfutation sévère et outrée une contre proposition tendant à établir ce qui serait davantage une manière de parler des mathématiques et des Africains.

Aussi, voudrais-je, dans cette contribution, prolonger le débat en le plaçant sur un terrain épistémologique, difficile certes mais pertinent : celui des rapports entre la pratique et la théorie dans le vaste champ d’objets et d’êtres dits mathématiques.

Très tôt chez les penseurs grecs et tout au long des siècles, historiens, philosophes, et mathématiciens notamment ont insisté sur l’idée que c’est la théorie ou encore la spéculation qui constitue la différence « Spécifique » du berceau de la civilisation occidentale et en définitive de la science. Spéculation ou théorie considérées comme démarche d’un esprit mû par la seule volonté d’établir la vérité et non par un quelconque intérêt d’ordre pratique ou social. À l’opposé, l’on a longtemps confiné les savoirs du monde "oriental" (Égypte ancienne, Mésopotamie) a fortiori ceux des autres aires culturelles, dans le champ des pratiques aveugles, faites de recettes et de réflexes empiriques, etc.

Cette thèse est particulièrement à l’honneur dans beaucoup de traités élaborés par les tenants de la supériorité de l’idéalisme, en histoire de la philosophie et en histoire des mathématiques. Pour ce qui concerne cette dernière, c’est le modèle du raisonnement hypothético-déductif qui sert de mesure à l’examen de tout savoir prétendant entrer dans le champ restreint de la dignité mathématique.

Il est bien évident que bien avant d’atteindre et surtout de développer la méthode hypothético-déductive qui en a fait une discipline à part, la mathématique est passée par différents stades. Et ceux-ci témoignent d’un long commerce avec des pratiques dont la science mathématique ne s’est dégagée que peu à peu et qui, très souvent, ont constitué ce à partir de quoi telle spéculation, telle construction intellectuelle ou telle théorisation ont été possibles.

Dans cet ordre d’idées et pour en revenir aux mathématiques africaines, il me semble utile de commencer modestement par chercher et formuler les principes et énoncés contenus dans des pratiques sur la combinaison des nombres, leur élaboration et organisation.

Une telle démarche est d’autant plus justifiée que c’est précisément d’elle que se sont servis la plupart des auteurs qui ont entrepris de comparer la science des Grecs avec les savoirs et les pratiques pré-helléniques. Ils ont noms : Hérodote, Jamblique, Clément d’Alexandrie, Démocrite, Festugière, Platon, Aristote, chez les auteurs de l’Antiquité ; ou encore Paul Tannery, P.-H. Michel, Paul Masson-Oursel, Gabriel Hanotaux, Abel Rey, Gaston Milhaud, Cheikh Anta Diop, etc., chez les auteurs les plus récents. Descartes, dont l’œuvre, en dépit de sa réputation de théoricien rationaliste, laisse voir combien ce philosophe était soucieux de pratique et d’application, donne dans ses « Règles pour la direction de l’Esprit », le sage conseil de faire l’effort de lire dans les savoir-faire des hommes la présence de principes rationnels. A la règle X, il commence par présenter l’intérêt pour les arts et les métiers comme propédeutique : « Pour que l’esprit acquière de la sagacité, écrit-il, il faut l’exercer à chercher ce qui a déjà été trouvé par d’autres et à parcourir avec méthode tous les métiers des hommes, même les moins importants, mais surtout ceux qui expliquent l’ordre ou le supposent ». Cette règle X répète et insiste sur trois idées maîtresses : l’expérience et la pratique sont premières ; un ordre s’y trouve enveloppé ou, pour le dire autrement, il y est implicite ; le rôle de la méthode qui va du plus simple au plus complexe consiste à rendre explicite ce qui est implicite. Et dans tous ces cas l’esprit est chez lui. Depuis son origine pythagoricienne, ce qui est rationnel est dicible. Ajoutons : même si dans ce qui est pratique le rationnel pêche apparemment par le fait que le logos est dans les mains et non dans l’esprit. Descartes est clair : il est des pratiques où « l’d’ordre règne » parmi les arts nombreux qui constituent l’expérience humaine. Il en cite quelques-uns : « comme sont ceux des artisans qui font la toile des tapis ou ceux des femmes qui brodent ou font la dentelle, ainsi que toutes les combinaisons des nombres et toutes les opérations qui se rapportent à l’arithmétique et autres choses semblables ... ».

D’autres textes de Descartes confirment sa conception des pratiques et des arts considérés comme contenant des savoirs et des principes implicites. C’est le cas du Discours premier de sa Dioptrie où, entreprenant d’expliquer la nature de la lumière, il commence par montrer que la technique a précédé la science dans le domaine de l’invention des moyens d’amélioration de la vision, fonction vitale par excellence et faculté déterminante pour le progrès de la connaissance. Il qualifie ce retard de la science, cette antériorité de la technique de « honte » pour la théorie ; il oppose l’utilité à la connaissance ; et met l’expérience du côté du tâtonnement, dont les synonymes dans le texte sont « la fortune », « par bonheur », « Si heureusement » ; ce que confirment ou prouvent le nom et la qualité de l’inventeur de la première lunette d’approche : « un nommé Jacques Métus [...] homme qui n’avait jamais étudié... » Descartes montre aussi dans ce texte que la technique peut cheminer longtemps et même progresser sans l’intervention de la science puisqu’il ajoute à propos de la lunette inventée par Métus, dont la performance était déjà vieille de 30 ans, au moment où notre philosophe écrivait ces lignes : « Et c’est seulement sur ce patron que toutes les autres qu’on a vues depuis ont été faites... » Le rôle de la science, différent de cette répétition de l’expérience et des techniques empiriquement inventées, se trouve dans une autre activité spécifique : « déterminer les figures que ces verres doivent avoir », écrit Descartes.

En d’autres termes, l’étude géométrique des formes des verres, dont l’avantage sera d’une part de rendre explicite ce qui n’était qu’implicite et d’autre part de passer des cas particuliers aux lois générales. Comment à partir de ces règles et principes préconisés par Descartes (mais il n’est pas le seul), apprendre à identifier, à décrire et à classer les mathématiques africaines ? Il s’agit essentiellement, à l’instar de la méthode préconisée par Descartes et maintes fois utilisée avant la lettre dans l’histoire des sciences orientales et helléniques, d’étudier les propriétés mathématiques qu’on rencontre dans les savoirs africains endogènes relatifs soit à des combinaisons de nombres, soit à des combinaisons de lignes. Ou bien encore les deux à la fois.

Toutes les considérations qui précèdent sont utiles et éclairantes pour une étude épistémologique des systèmes de numérations parlées africaines auxquels cette communication est consacrée dans le cadre d’une réflexion sur « Rationalité et langage ».

Ici, la difficulté est de trois ordres : nous sommes dans la pratique ; cette pratique est langagière, orale ; et il s’agit de démontrer que « l’ordre y règne » et par conséquent un certain degré de rationalité.

L’analyse consacrée ci-dessous à la comparaison entre des énoncés mathématiques dans des langues africaines parlées au Sénégal et dans la même aire culturelle (le wolof, le pulaar et les langues mandé), vise à montrer :

‒ que l’expression des nombres est solidaire de la culture qui les élabore ;
‒ que dans cette culture, la structure de la langue influe sur les énoncés pour nommer les nombres et les nommer clairement ;
‒ qu’enfin, deux grands principes qui régissent toutes les numérations écrites bien organisées sont vérifiés également pour les numérations orales, en même temps qu’ils révèlent l’incidence de l’oralité sur « l’ordre propre » aux énoncés oraux dans le cas précis des numérations parlées.

Comment le mode de dénombrement est solidaire de la structure de la langue

Le wolof et le pulaar sont deux langues du Sénégal, assez étroitement apparentées, possédant un grand nombre de termes communs et ayant, du point de vue de leur structure, des similitudes grammaticales et syntaxiques. Le wolof et le pulaar (à l’instar de beaucoup d’autres langues du Sénégal) sont d’abord des langues à classes nominales, alors que toutes les langues africaines ne le sont pas loin s’en faut, ce que prouvent bien les langues mandé (mandinka, soninké, etc.) Les langues à classes nominales sont caractérisées par la modification de la consonne initiale des substantifs lorsque l’on passe du singulier au pluriel et vice-versa.

Considérons le terme « homme » (par opposition à femme) dont l’intérêt sur les plans linguistique, grammatical, logique et numéral, est considérable. Le wolof et le pulaar utilisent deux lexèmes dont la parenté est évidente :

homme = goor en wolof
homme = gorko en pulaar

Lorsqu’on exprime le nombre en général de ce substantif, apparaît immédiatement une différence entre ces deux langues :

un homme (quelconque) en wolof = ab goor ; en pulaar= gorko
des hommes en wolof = ay goor ; en pulaar = worbe

Il apparaît ainsi que :

a) L’article indéfini (singulier et pluriel) est prépose au substantif dans le cas du wolof mais, il est postposé au substantif dans le cas du pulaar.

b) Dans le cas du wolof, le pluriel est marqué seulement par un morphème différent de celui qui indique l’unité en général, alors que pour le pulaar on note deux modifications majeures découlant de son caractère très marqué de langue à classes nominales :

la consonne g cède la place à la consonne w (gorko worbe)
le suffixe « ka » cède la place au suffixe «  be »

Lorsqu’on passe à l’utilisation des numéraux cardinaux pour exprimer le nombre appliqué au même substantif dans les deux langues, on s’aperçoit que chacune conserve la « logique » ; de la structure décrite plus haut.

deux hommes dix hommes cent hommes mille hommes
wolof ñaari goor fukki goor teemeri goorjunni goor
2 hommes 10 hommes 100 hommes 1000 hommes
pulaar norbe didi worbe sappo worbe teemederé worbe njinéré
2 hommes 10 hommes 100 hommes 1000 hommes

N.B. 1 : Les noms de nombres pour 100 et 1000 sont les mêmes pour les deux langues.

N.B. 2 : Les numéraux cardinaux 2, 10, 100 et 1000 sont préposés au substantif « homme » dans le cas du wolof, mais dans le cas du pulaar, 2, 10, 100 et 1000 sont postposés au substantif « homme ».

Passons à présent à la numération parlée elle-même, c’est-à-dire sans désignation d’objet, l’expression de la suite des numéraux cardinaux. On y découvre ceci d’extrêmement remarquable que :

‒ au plan linguistique, chacun de ces paliers a un nom distinct : 10, 100, 1000 ;
‒ au plan linguistique toujours, les nombres correspondant aux nœuds des dizaines, des centaines et des milliers sont exprimés par des syntagmes complétifs, à savoir la juxtaposition d’un numéral ayant fonction de multiplicateur et d’un numéral occupant la position de nombre « multipliés » ;
‒ enfin, pour l’ordre de disposition des nombres multiplicateurs et des nombres multipliés, le wolof et le pulaar demeurent fidèles au schéma décrit plus haut à propos des positions respectives de l’article et du substantif.

Vingt Quarante Trous cents Dix mille
(20) (40) (300) (10 000)

wolof nàar fukk neenti fukk netti teemere fukki juuni
2/10 4/10 3/100 10/1000

ou encore
nitt = homme

pulaar cappande didi cappande nay teemedé tati ujunaaj sappo
10/2 10/4 100/3 1000/10

ou encore
noogas = homme complet

Il est clair que pour ces nœuds des dizaines, des centaines et des milliers où chacun de ces paliers est multiplié par un nombre donné, le wolof prépose le multiplicateur au multiplicande, alors que le pulaar post pose le multiplicateur au multiplicande.

La « logique » de chaque structure linguistique est respectée, ce qui prouve bien qu’il y a une certaine « sympathie » entre les noms de nombres, entre l’expression des numéraux cardinaux et les langues au sein desquelles ceux-ci sont élaborés.

Remarques

1. Le modèle représenté par la structure linguistique et la structure numérale pulaar est sinon celui de l’ensemble des langues africaines, du moins le seul que j’ai rencontré dans mes investigations à l’exception du wolof.

2. L’exception que constitue le cas du Wolof est une curiosité dans cet océan de langues, de « parlers » africains, et je n’ai pas, à ce jour, trouvé son explication. Mais l’on peut aussi se contenter de noter que c’est précisément cela le « génie » de chaque langue et qu’il est peut-être aussi absurde de vouloir en rendre compte que d’expliquer le fait que le signe soit « arbitraire ».

3. L’histoire de la numération a montré que le succès de la numération écrite de position est exclusivement dû au fait qu’une convention d’ordre consistant à disposer le multiplicateur avant le multiplicande, rend l’écriture d’un dénombrement simple, et les opérations du calcul arithmétique également.

Exemple d’expression d’un nombre en numération écrite de position :

Quatre mille huit cent soixante-douze
4 8 7 2

Il y a numération de position parce que dans l’écriture de ce nombre, 4, 8, 7 et 2 n’expriment respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités que du fait de leur position dans un ordre décroissant, le premier chiffre correspondant au nombre qui exprime l’ordre de grandeur le plus élevé. Il est bien évident que 4, 8, 7 et 2 sont en même temps les multiplicateurs respectifs des multiplicandes successifs dans un ordre décroissant pour « mille », « cent », « dix » et « deux unités ».

C’est dire si de ce point de vue le wolof a été bien inspiré de « choisir » cette disposition de ses syntagmes complétifs au plan linguistique et pour le dénombrement des numéraux cardinaux. Cela constitue-t-il une différence suffisante pour qu’au plan de l’organisation générale de sa numération parlée, la numération wolof soit d’une qualité qui la distingue définitivement de toutes celles qui n’ont pas eu le « génie » de faire la même chose ? Commençons par constater que toutes ces numérations parlées sont des numérations bien organisées.

Dénombrement, ordre et principe d’ordre

Les deux modèles que sont le wolof et le pulaar valent pour toutes les numérations africaines parlées qu’il m’a été donné d’examiner.

Bien sûr, la suite des numéraux cardinaux du nombre « un » au plus grand nombre que connaisse une langue et une culture est une convention qui obéit en définitive à un principe de discrimination sans lequel il n’y a pas de nom de nombre.

La suite des entiers naturels est conforme à un principe d’ordre, où les énoncés portent sur des nombres de grandeur croissante.

Cependant, le premier critère d’une numération bien organisée concerne la désignation de chaque palier dans cet ordre croissant par un nom de nombre distinct et nouveau, ayant de surcroît une valeur d’unité nouvelle.
Rappel : Exemple

dix cent mille dix mille
10 100 1000 10 000
wolof fukk teemère junni fukki junni
pulaar sappo teemedere ujunéré ujunaaji sappo

En français, en wolof et en pulaar, nous sommes ici en présence d’une numération décimale. En fait nous avons, juxtaposés dans cette succession de paliers, le principe de discrimination et le principe d’ordre. Le premier rend raison de l’existence d’un nom distinct exprimant un palier à valeur d’unité nouvelle. Le deuxième (le principe d’ordre), renvoie à l’ordre croissant, ce qui est aussi la preuve qu’une numération est en mesure de nommer de grands nombres et si possible, des nombres de plus en plus grands.

Le même principe d’ordre est vérifié pour nos « modèles » de numération parlée, à propos de la situation générale de ce qu’on appelle un dénombrement. En effet, celui-ci est toujours l’expression d’un nombre présenté comme un polynôme avec la particularité d’une énonciation selon l’ordre décroissant des puissances successives de la base.

En reprenant la numération décimale en français, wolof et pulaar, l’expression par exemple de « Quatorze mille cinq cent quarante-trois » se présente comme suit : Numération écrite de position : 1 4 5 4 3 : ordre décroissant

Wolof
Fuk ak neenti junni ak juromi teemère ak
(dix et quatre) mille et cinq cent et
neent fukk ak nett
quatre dix et trois

pulaar
Ujunaaj sappo e nay e teemedé joy è cappandé
Mille quatorze fois et cent cinq fois et dix
nay e tati
quatre fois et trois

Dans les deux numérations parlées, le principe d’ordre c’est aussi l’observance de l’ordre décroissant des puissances de la base 10.

De ce point de vue, la numération écrite de position n’a pas de plus grande qualité que ces deux numérations parlées et nous vérifions une règle largement et universellement observée : pour obtenir une bonne numération écrite, il faut qu’il y ait eu d’abord une bonne numération parlée.

Question préjudicielle : empirisme et rationalité

Un principe de discrimination, une convention d’ordre et un principe d’ordre : voilà ce qui vient d’être établi comme principes organisateurs du dénombrement en numération parlée wolof et pulaar. Cela suffit-il pour conclure que cette arithmétique sauvage est en accord avec la rationalité ? Si les mathématiques reposent sur les principes de l’évidence rationnelle, les principes énumérés ci-dessus sont-ils oui ou non des principes qui s’accordent avec l’évidence rationnelle ?

Il y a ici une question préjudicielle si l’on considère que les systèmes de numération avant la constitution de l’arithmétique théorique, qu’ils soient oraux ou figurés, sont des pratiques qui procèdent davantage de recettes, et de réponses à l’urgence de la vie. Mieux, un tel point de vue conclurait que les « principe de discrimination », « convention d’ordre » et « principe d’ordre » sont des caractérisations que l’on applique après-coup à ces pratiques et sont davantage le fait d’un esprit philosophique, logique, ou scientifique d’aujourd’hui et qui par déformation applique les catégories de la pensée rationnelle à tout ce qui existe.

À l’inverse de cette démarche et sans esquiver l’importance de cette question, on pourrait reprocher à cette attitude « rationaliste », « orthodoxe » ou « absolue » ce que Bachelard reproche au savant hostile à l’empirisme : le fait de croire que la connaissance sort de l’ignorance comme la lumière des ténèbres. En conséquence, il est légitime de se demander s’il y a possibilité d’apparition ou de constitution radicale d’une « technique » ou d’une pratique comme celle des systèmes de numération sans une forme de savoir qui les précède et les accompagne. On revient ainsi peu ou prou à Descartes : si le logos est dans la main de la femme qui fait de la tapisserie, comment s’y est-il trouvé ? Ce logos se trouve-t-il dans les systèmes de numération parlée ? En répondant positivement, on abandonne du même coup l’idée que ces pratiques sont aveugles, qu’elles ne sont qu’une accumulation de recettes pour la vie de l’individu et du groupe ?

Du reste, le savoir se constitue en général dans un champ de pratiques humaines, à partir duquel, par observation et par itération de rapports invariants, l’homme institue des rites, des règles et des lois pour agir et prévoir.

Aussi, importe-t-il de reprendre la question du rapport des numérations orales à la rationalité en expliquant l’hypothèse suivante : le phénomène numéral (c’est-à-dire nommé et ordonné) est différent et représente plus que le phénomène naturel observé et vécu.

Je partirai de l’exemple de la « main » si souvent invoquée pour conclure de l’importance de la base 5 à l’idée que les numérations correspondantes ne sont que la reproduction de ce qu’il y a de plus immédiat et familier à l’homme : le corps.
On a souligné à juste raison que la main et le corps humain ont suggéré l’idée de base du fait de l’unité qu’ils constituent respectivement tout en étant composés d’unités. Mais on n’a pas suffisamment mis l’accent sur le fait que dès l’instant où l’une et l’autre jouent le rôle de base (quinaire pour la main et vigésimale pour le corps avec 10 doigts des deux mains ajoutés aux 10 orteils), nous n’avons plus affaire à des organes mais à des instruments. En effet, une base de numération est un artifice et en tant qu’artifice nous introduit dans la culture et par conséquent l’invention d’une ruse pour mesurer ce qui au départ est innombrable, foisonnant, chaotique. Pour s’en rendre compte, il suffit de considérer qu’une fois la base acquise, elle engendre ses propres puissances successives dont chacune n’a avec sa lointaine origine « naturelle » qu’est l’organe qu’un vague rapport. Les puissances successives de la base sont nommées et reçoivent comme indiqué plus haut une fonction de relais et d’unité nouvelle. Cela apparaît encore plus nettement dans l’histoire propre à certains groupes comme ceux des peuples mandé qui ont su se donner successivement ou cumulativement des bases auxiliaires comme 5, 20, 60, 80 et enfin 100, tout en conservant le même nom pour les désigner : kémé. Cet instrument est incontestablement au-delà de l’organe. Il porte fondamentalement la marque du logos. La numération parlée, en dépit de ses limites par rapport à la numération écrite, crée dans l’immensité du divers et de l’irrationnel (naturel), un « univers » du dicible, exactement au sens de ce qui pouvant être nommé, peut du même coup instituer un rapport, ici précisément un rapport entre deux nombres, puis entre plusieurs. Du reste, dans la langue classique grecque, logos a bien eu le sens de « nombre » « suite ou ensemble d’objets ». C’est ce qu’il fallait démontrer.

 Présence africaine, n° 78, 2e trimestre 1971, p. 27 et § 99.
 Présence africaine, n° 82, 2e trimestre 1972, p. 11 et § 99.
 Descartes, « Règles pour la direction de l’Esprit », in Œuvres et Lettres, Paris, Gallimard, p. 69 et § 99.
Regulae, p. 70.